martes, 1 de abril de 2014

MATEMÁTICAS II (SEGUNDO Y TERCER BLOQUE)


La circunferencia solo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es elperímetro del círculo cuya superficie contieneLa intersección de un plano con una superficie esférica puede ser: o bien el conjunto vacío (plano exterior); o bien un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia, si el plano secante pasa por el centro , se llama ecuador1
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
  • Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
  • Radio, El radio de una circunferencia es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del diámetro.El radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre 2π.
  • Diámetro, El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro mide el doble del radio. El diámetro es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre π;
  • Cuerda, La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de longitud máxima.
  • Recta secante, Es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos;
  • Recta tangente, Es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto;
  • Punto de Tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;
  • Arco, El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Un arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las letras de los puntos extremos del arco.
  • Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro
  • Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
    Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados contienen a dos radios.
    La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
    Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
    La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferencia equivale a la mayor parte del ángulo exterior que limita dicha base. (Véase: arco capaz.)
    Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
    La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
    Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
    La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
    Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia





a = -\frac{D}{2}
b = -\frac{E}{2}

r = \sqrt{a^2 + b^2-F}
a = -\frac{D}{2}
b = -\frac{E}{2}
r = \sqrt{a^2 + b^2-F}

1 Ángulo central

dibujo
El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.
La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.
expresión

2 Ángulo inscrito

dibujo
El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.
expresión

3 Ángulo semi-inscrito

dibujo
El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.
expresión

4 Ángulo interior

dibujo
Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.
expresión

5 Ángulo exterior

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:
dibujodibujodibujo
Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:
expresión


 ¿Cuánto vale el ángulo cuyo vértice señalamos con X?. Razona la respuesta:
Respuesta: X=70º30’. Se trata de un ángulo inscrito y vale la mitad del arco que abarcan sus lados, es decir, la mitad del ángulo central.
15.147 ¿Qué valor tiene X en la figura siguiente? Razónala.
Respuesta: X=31º. Mismo razonamiento del problema anterior.
15.148   Halla el valor de X en la figura siguiente:
Respuesta: X=62º por ser ángulo central y tener el doble del valor del ángulo inscrito cuyos lados abarcan el mismo arco.
15.149 ¿Cuántos grados vale el ángulo X?
Respuesta: X=135º
Solución:
El ángulo  es inscrito y sus lados abarcan el arco  que corresponde al ángulo central de 270º, luego X valdrá la mitad del ángulo central, es decir, 
15.150 ¿Cuánto vale el ángulo X de la figura siguiente y cuál la longitud del arco que abarcan sus lados?
Respuesta: X= 136º30’: longitud del arco = 
4) Ángulo interior: Un ángulo interior es el que tiene su vértice en un punto interior cualquiera de la circunferencia y sus lados son secantes a ella:
El ángulo  es un ángulo interior del que a continuación vamos a deducir el valor del arco que abarcan sus lados..
En primer lugar prolongamos los lados  y  :
Ahora unimos los puntos A y D:
Si te fijas bien, el ángulo  es un ángulo inscrito y vale la mitad del central la longitud del arco que le corresponde es :
Ves que el ángulo vale 73º, es decir, la mitad del ángulo central que mide 146º, abarcando los lados de ambos ángulos el mismo arco.
Podemos decir que 
El ángulo  también es un ángulo inscrito y le corresponderá el arco 
Escribiremos la igualdad 
En el triángulo  el ángulo en  verás que es un ánguloexterior, por lo tanto, vale la suma de los interiores no adyacentes a él:
Lo representamos en la figura siguiente:
Puedes comprobar que los ángulos interiores con vértices en y en  suman los mismos grados que el exterior en :
La igualdad  puedo escribirla según todo lo que acabamos de estudiar:
La medida de un ángulo interior a una circunferencia es igual a la semisuma de las medidas de los arcos que abarcan los lados y las prolongaciones de éstos.
15.151  ¿Cuánto vale un ángulo interior a una circunferencia si los arcos abarcados por sus lados y sus prolongaciones miden 81º y 33º? Dibuja.
Respuesta: 57º
Solución:
El arco  mide 81º y el arco  33º la semisuma de ambos vale 57º tal como te indica el ángulo 
Observa en la figura las medidas de los ángulos centrales (en color magenta)  tienen las mismas medidas que sus respectivos arcos.
  15.152  Un ángulo interior a una circunferencia mide 42º y uno de sus arcos 54º   ¿Cuánto medirá el otro arco?
Respuesta: 30º
5) Ángulo exterior: Un ángulo exterior es el que tiene su vértice en un punto exterior a la circunferencia y sus lados respecto a ésta pueden ser secantes, tangentes, o un lado secante y el otro tangente.
Vamos a estudiar los tres casos:
1º Los lados son secantes:
El ángulo  que en la figura vale 20º es un ángulo interior del triángulo  y el ángulo que vale 17º es el otro ángulo interior no adyacente al exterior que vale 37º.
Sabemos que el valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes: 
Sabemos que el ángulo  es un ángulo inscrito y la medida del arco que abarcan sus lados es .
Lo mismo sucede con el ángulo que es un ángulo inscrito y la medida del arco es igual .
Ahora se trata de saber la medida de arcos que corresponde al ángulo exterior .
Vemos que 
Nos interesa despejar 
Donde 
Sustituyendo por las medidas de los arcos conocidos obtengo:
El valor de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de los arcos que abarcan sus lados.
2º Los lados son tangentes:
El razonamiento es igual al caso anterior. El ángulo es exterior del triángulo que equivale a la suma de los dos interiores no adyacentes:
El ángulo  es un ángulo semi-inscrito lo mismo que y las medidas de los arcos que abarcan sus lados son respectivamente.
Los ángulos  y  son iguales, podemos escribir:
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual al exterior no adyacente a ninguno de ellos.
Despejando el valor de 
Sustituyendo los valores de  y  por los arcos que abarcan sus lados llegamos: 
Como ves, estamos en el mismo caso como el estudiado cuando los lados eran secantes.
3º Los lados son uno tangente y el otro secante:
En esta figura ves lo mismo de lo que hemos estudiado en el caso anterior. La suma de los ángulos interiores del triángulo  que suman 147º + 32º = 147º es igual al exterior no adyacente a ninguno de los otros dos.
Siguiendo lo explicado en casos anteriores vemos que:
En los tres casos, el valor del ángulo exterior a una circunferencia  es igual a la semidiferencia de los arcos que abarcan sus lados.



ESTUDIA Y SUPERATE  ;)

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